质点圆周运动切向/法向加速度及角位移计算

以下是重写后的内容： ### （1）质点运动相关参数的求解 在研究质点的圆周运动时，我们首先需要确定质点的角速度。已知质点的运动方程为 $\theta = 2\sqrt{3}t'$，这里 $\theta$ 表示角位移，$t'$ 代表时间。根据角速度的定义，它是角位移对时间的一阶导数，即 $\omega = \frac{d\theta}{dt'}$。通过对给定的运动方程求导，我们可以得到质点的角速度 $\omega = 2\sqrt{3}$ rad/s。 由于质点做匀速圆周运动，其切向加速度 $a_t$ 与角加速度 $\alpha$ 以及半径 $r$ 存在特定关系，即 $a_t = r\alpha$ ，而角加速度 $\alpha$ 又等于角速度 $\omega$ 对时间的导数，即 $\alpha = \frac{d\omega}{dt}$。对于匀速圆周运动来说，角速度是恒定不变的，所以 $\frac{d\omega}{dt} = 0$ ，进而可得切向加速度 $a_t = r\alpha = r\frac{d\omega}{dt} = 0$ 。 与此同时，法向加速度 $a_n$ 与角速度 $\omega$ 和半径 $r$ 的关系为 $a_n = r\omega^2$ 。将前面求得的角速度 $\omega = 2\sqrt{3}$ rad/s 代入该公式，可计算出法向加速度 $a_n = r\omega^2 = 3$ m/s² 。 ### （2）特定角度下加速度及角位移的计算 当加速度的方向和半径成45°角时，根据加速度的分解原理可知，此时切向加速度 $a_t$ 和法向加速度 $a_n$ 的大小是相等的，并且满足关系式 $a_t = a_n = \frac{v^2}{r}$ ，其中 $v$ 表示质点的速度。 由于质点做匀速圆周运动，其速度 $v$ 可以通过角速度 $\omega$ 和半径 $r$ 来计算，即 $v = r\omega$ 。在前面我们已经求得角速度 $\omega = 2\sqrt{3}$ rad/s ，将其代入速度公式可得 $v = r\omega = 2\sqrt{3}$ m/s 。再将这个速度值代入 $a_t = a_n = \frac{v^2}{r}$ 中，经过计算可得 $a_t = a_n = 12$ m/s² 。 此时，质点的加速度大小 $a$ 可以通过勾股定理来计算，因为加速度方向与半径成45°角，所以 $a = \sqrt{2}a_t = \sqrt{2}a_n = 12\sqrt{2}$ m/s² 。 另外，我们还需求出质点在 $t = 2$ s 时的角位移 $\theta$ 。根据角速度的定义以及之前求得的角速度 $\omega = 2\sqrt{3}$ rad/s ，可得 $\theta = \omega t$ 。将 $t = 2$ s 代入该公式，可计算出质点在 $t = 2$ s 时的角位移为 $\theta = \omega t = 4\sqrt{3}$ rad 。