质点圆周运动：求特定时刻切向与法向加速度及特殊角度下角位移

(1) 首先求出质点的角速度，由于运动方程为 $\theta = 2\sqrt{3}t'$，对其求导可得角速度 $\omega = \frac{d\theta}{dt'} = 2\sqrt{3}$ rad/s。因为质点做匀速圆周运动，所以切向加速度为 $a_t = r\alpha = r\frac{d\omega}{dt} = 0$，法向加速度为 $a_n = r\omega^2 = 3$ m/s^2。 (2) 当加速度的方向和半径成45°角时，切向加速度和法向加速度大小相等，即 $a_t = a_n = \frac{v^2}{r}$，其中 $v$ 为质点的速度。由于质点做匀速圆周运动，所以 $v = r\omega = 2\sqrt{3}$ m/s。代入公式可得 $a_t = a_n = 12$ m/s^2。此时质点的加速度大小为 $a = \sqrt{2}a_t = \sqrt{2}a_n = 12\sqrt{2}$ m/s^2。质点在 $t=2$ s 时的角位移为 $\theta = \omega t = 4\sqrt{3}$ rad。