柯西不等式

柯西不等式是数学中的一种重要不等式，它描述了两个向量内积的上界。具体来说，对于任意两个实数序列 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 和 $b_1,b_2,\cdots,b_n$，柯西不等式给出了如下的上界： $$(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2)\geq (a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n)^2$$ 其中等号成立当且仅当 $a$ 和 $b$ 线性相关。 柯西不等式在数学中有着广泛的应用，特别是在线性代数、概率论、统计学等领域。在物理学中，柯西不等式也被用来描述两个物理量之间的关系。