求方程 a²=b²+2b+13 的整数解

《求方程 \\(a² = b² + 2b + 13\\) 的整数解》 对于方程 \\(a² = b² + 2b + 13\\)，我们的目标是找到满足该方程的整数解。首先，对方程进行适当变形，将其转化为更便于求解的形式。 原方程可化为：\\(a² - b² - 2b - 13 = 0\\)。进一步整理可得：\\(a² - (b² + 2b + 1) - 12 = 0\\)，即 \\(a² - (b + 1)² = 12\\)。 此时，我们可以将方程左边运用平方差公式进行因式分解，得到：\\((a + b + 1)(a - b - 1) = 12\\)。 接下来，我们需要找出所有可能的整数对 \\((x,y)\\)，使得 \\(xy = 12\\)。这些整数对包括 \\((1,12)\\)，\\((-1,-12)\\)，\\((2,6)\\)，\\((-2,-6)\\)，\\((3,4)\\)，\\((-3,-4)\\)，\\((4,3)\\)，\\((-4,-3)\\)，\\((6,2)\\)，\\((-6,-2)\\)，\\((12,1)\\)，\\((-12,-1)\\)。 针对每一对整数对，分别列出关于 \\(a\\) 和 \\(b\\) 的方程组并求解。例如，当 \\(a + b + 1 = 1\\) 且 \\(a - b - 1 = 12\\) 时，联立方程组可解得 \\(a = 7\\)，\\(b = -7\\)；当 \\(a + b + 1 = -1\\) 且 \\(a - b - 1 = -12\\) 时，联立方程组可解得 \\(a = -7\\)，\\(b = 7\\)。 按照同样的方法，对其他整数对进行求解，最终可以得到方程 \\(a² = b² + 2b + 13\\) 的所有整数解为 \\((7, -7)\\)，\\((-7, 7)\\)。