电流相量i=(5+j3)A，频率f=50Hz 求t时刻电流的瞬时值

《电流相量与瞬时值的求解》 在交流电路的分析中，电流相量和瞬时值是两个非常重要的概念。它们之间存在着紧密的联系，通过一定的数学关系可以实现相互转换。这里我们已知电流相量 \\(i=(5+j3)A\\)，频率 \\(f = 50Hz\\)，需要求出 \\(t\\) 时刻电流的瞬时值。 首先，让我们来深入理解一下电流相量的含义。电流相量是一种用复数形式表示正弦交流电的方法，它将电流的大小和相位信息巧妙地结合在一起。在这个例子中，电流相量 \\(i=(5+j3)A\\)，其中实部为 5，虚部为 3。这代表着该交流电在复平面上的投影，其实部对应着与电压同相的分量，虚部则对应着与电压正交的分量。 接下来，我们要明确频率 \\(f = 50Hz\\) 的意义。频率是指单位时间内交流电变化的次数，它反映了交流电变化的快慢程度。在本题中，频率为 50Hz，意味着交流电每秒钟会完成 50 个完整的周期。 根据交流电的相关理论，我们知道正弦交流电的瞬时值表达式一般为 \\(i = I_m \\sin(\\omega t + \\varphi)\\)，其中 \\(I_m\\) 是电流的最大值，\\(\\omega\\) 是角频率，\\(\\varphi\\) 是初相位。而角频率 \\(\\omega\\) 与频率 \\(f\\) 的关系为 \\(\\omega = 2\\pi f\\)。 对于给定的电流相量 \\(i=(5+j3)A\\)，我们可以先求出其对应的最大值 \\(I_m\\)。最大值 \\(I_m\\) 等于电流相量的模，即 \\(I_m=\\sqrt{5^2 + 3^2}=\\sqrt{34}A\\)。 然后，我们需要确定初相位 \\(\\varphi\\)。根据电流相量的实部和虚部，我们可以利用三角函数的关系来求出初相位。设 \\(\\cos\\varphi = \\frac{5}{\\sqrt{34}}\\)，\\(\\sin\\varphi = \\frac{3}{\\sqrt{34}}\\)。 现在，我们可以将已知条件代入正弦交流电的瞬时值表达式中。角频率 \\(\\omega = 2\\pi f = 2\\pi \ imes 50 = 100\\pi\\) rad/s。于是，电流的瞬时值表达式可以写为： \\(i = I_m \\sin(\\omega t + \\varphi)=\\sqrt{34} \\sin(100\\pi t + \\varphi)\\) 进一步展开，利用三角函数的和差化积公式，可得： \\(i = \\sqrt{34}[\\sin(100\\pi t)\\cos\\varphi + \\cos(100\\pi t)\\sin\\varphi]\\) 将 \\(\\cos\\varphi = \\frac{5}{\\sqrt{34}}\\)，\\(\\sin\\varphi = \\frac{3}{\\sqrt{34}}\\) 代入上式，得到： \\(i = \\sqrt{34}\\left[\\sin(100\\pi t)\ imes\\frac{5}{\\sqrt{34}} + \\cos(100\\pi t)\ imes\\frac{3}{\\sqrt{34}}\\right]\\) 化简后可得： \\(i = 5\\sin(100\\pi t) + 3\\cos(100\\pi t)\\) 再根据三角函数的诱导公式 \\(\\cos x = \\sin(x + \\frac{\\pi}{2})\\)，可将上式进一步改写为： \\(i = 5\\sin(100\\pi t) + 3\\sin(100\\pi t + \\frac{\\pi}{2})\\) 这就是我们所要求的 \\(t\\) 时刻电流的瞬时值表达式。它清晰地展示了电流在任意时刻 \\(t\\) 的大小和变化规律，体现了交流电的周期性和波动性。通过对电流相量和频率等参数的分析和计算，我们成功地推导出了电流的瞬时值表达式，这对于深入理解交流电路的特性和运行规律具有重要意义。