幂级数求和与收敛性分析：n(n+1)x^(n-1)的收敛半径、域及和函数

我们可以使用比值判别法来求解该级数的收敛半径： 设 a_n = n(n-1)，则有： lim |a_{n+1}/a_n| = lim |(n+1)n/n(n-1)| = lim |(n+1)/n| = 1 因此，该级数的收敛半径为 R = 1/lim sup |a_n|^(1/n) = 1/lim sup n^(1/n) * (n-1)^(1/n) = 1。 接下来，我们需要确定该级数的收敛域。由于收敛半径为 1，我们可以使用端点检验法来确定收敛域： 当 x = 1 时，级数变为 ∑ (n=1 ∞) n(n-1)，由于该级数的通项 a_n = n(n-1) 不趋于 0，因此级数发散。 当 x = -1 时，级数变为 ∑ (n=1 ∞) (-1)^n n(n-1)，由于该级数的通项 a_n = (-1)^n n(n-1) 不趋于 0，因此级数发散。 因此，该级数的收敛域为 -1 < x < 1。 最后，我们需要求出该级数的和函数。我们可以对级数进行求和，得到： ∑ (n=1 ∞) n(n-1) x^(n-1) = ∑ (n=1 ∞) [n(n-1) x^n - n(n-1) x^(n-1) + n(n-1) x^(n-1)] = x^2 ∑ (n=1 ∞) n(n-1) x^(n-2) - x ∑ (n=1 ∞) n(n-1) x^(n-1) + ∑ (n=1 ∞) n(n-1) x^(n-1) = x^2 ∑ (n=0 ∞) (n+1)(n+2) x^n - x ∑ (n=0 ∞) n(n+1) x^n + ∑ (n=0 ∞) n(n-1) x^n = x^2 [(1-x)^(-3)] - x [(1-x)^(-2)] + [(1-x)^(-3)] = (x^2 - x + 1) / (1-x)^3 因此，该级数的和函数为 (x^2 - x + 1) / (1-x)^3。