计算曲面壳∑: z =（x^2+y^2)^1/2 (0≤z≤1）的质量，其中面密度 p=z^2

根据题意，曲面壳可以表示为参数方程： x = u y = v z = (u^2 * v^2)^1/2 其中，0 ≤ u ≤ 1，0 ≤ v ≤ 1。 接下来，我们需要计算曲面壳的面积元素和面密度，以求出质量。 首先，计算曲面壳的面积元素： dS = ||ru × rv|| du dv 其中，ru 和 rv 分别表示参数方程对 u 和 v 的偏导数，||ru × rv|| 表示 ru 和 rv 的叉积的模长。 计算 ru 和 rv： ru = <1, 0, u*v/(u^2 * v^2)^1/2> rv = <0, 1, u*v/(u^2 * v^2)^1/2> 计算叉积： ru × rv = <-u*v/(u^2 * v^2), -u*v/(u^2 * v^2), 1> 计算模长： ||ru × rv|| = (u^2 * v^2 + 1)/(u^2 * v^2) 因此，面积元素为： dS = (u^2 * v^2 + 1)/(u^2 * v^2) du dv 接下来，计算面密度： p = z^2 = u^2 * v^2 因此，质量可以表示为： M = ∫∫∑ p dS = ∫∫∑ u^2 * v^2 * (u^2 * v^2 + 1)/(u^2 * v^2) du dv 化简可得： M = ∫∫∑ (u^2 * v^2 + 1) du dv 根据题意，0 ≤ u ≤ 1，0 ≤ v ≤ 1，因此： M = ∫0^1 ∫0^1 (u^2 * v^2 + 1) du dv 对 u 积分，得： M = ∫0^1 (1/3 * v^2 + 1) dv 对 v 积分，得： M = 4/9 因此，曲面壳的质量为 4/9。