《二次理想函数图像平移后相关几何问题求解》

首先，根据题意，二次函数 $y=x^2-nx+m^2-2m-3$ 是理想函数，且最大值为 $2n-2m$，因此有： $$ \begin{cases} 2n-2m=m^2-2m-3 \\ n=m^2-5m+3 \end{cases} $$ 将 $n$ 代入二次函数中，得到： $$ y=x^2-(m^2-5m+3)x+m^2-2m-3 $$ 将 $x$ 替换为 $x+\sqrt{7}$，即可将函数图像向左平移 $\sqrt{7}$ 个单位长度，得到： $$ y=(x+\sqrt{7})^2-(m^2-5m+3)(x+\sqrt{7})+m^2-2m-3 $$ 化简后得到： $$ y=x^2-(m^2-5m+3)x+(m^2-2m-3-2\sqrt{7}m+10\sqrt{7}) $$ 因此，顶点坐标为： $$ D\left(\frac{m^2-5m+3}{2},\frac{2m^2-4m-3+2\sqrt{7}m-10\sqrt{7}}{4}\right) $$ 与 $x$ 轴交点坐标为： $$ A\left(m-\sqrt{7},0\right),\quad B\left(m+\sqrt{7},0\right) $$ 与 $y$ 轴交点坐标为： $$ E\left(0,m^2-2m-3-2\sqrt{7}m+10\sqrt{7}\right) $$ 由于 $\triangle EBD$ 是等腰三角形，且 $BD$ 是中线，因此 $M$ 是 $BE$ 的中点，$G$ 是 $\triangle EBD$ 的重心，即： $$ M\left(\frac{m-\sqrt{7}}{2},\frac{m^2-2m-3-2\sqrt{7}m+10\sqrt{7}}{2}\right),\quad G\left(\frac{m^2-5m+3}{3},\frac{2m^2-4m-3+2\sqrt{7}m-10\sqrt{7}}{3}\right) $$ 根据勾股定理，$MG$ 的长度为： $$ MG=\sqrt{\left(\frac{m-\sqrt{7}}{2}-\frac{m^2-5m+3}{3}\right)^2+\left(\frac{m^2-2m-3-2\sqrt{7}m+10\sqrt{7}}{2}-\frac{2m^2-4m-3+2\sqrt{7}m-10\sqrt{7}}{3}\right)^2} $$ 化简后得到： $$ MG=\frac{2\sqrt{7}}{3}\sqrt{m^2-6m+10} $$ 因此，以 $MG$ 为边长的正方形面积为： $$ S=MG^2=\frac{28}{9}(m^2-6m+10) $$