无源网络最大功率传输电路利用给定的电阻、电感和电容搭建最大功率传输实现电路,要求电路最多只能使用两个电阻、一个电容、个电感。输入电阻R1与电感串联后,电容与输出电阻并联,求输出电阻R2的最大传输功率(不是求电容和R2所组成的电路的最大功率),请举例说明
无源网络最大功率传输电路是指在电路中不使用任何电源,通过调整电路中元件的参数,使得电路输出功率达到最大值的电路。根据最大功率传输定理,当电路输出功率最大时,输出电阻等于源电阻的共轭复数。
根据题目要求,电路中最多只能使用两个电阻、一个电容、一个电感。我们可以将电感和电阻串联,电容和输出电阻并联,如下图所示:
![无源网络最大功率传输电路](https://i.imgur.com/5JZJZJL.png)
其中,L为电感,C为电容,R1和R2为电阻。根据电路中的电压和电流关系,可以得到以下方程组:
$$
\begin{cases}
U_{in} = I(R_1 + j\omega L) \\
U_{out} = I(R_2 || \frac{1}{j\omega C}) \\
U_{in} = U_{out}
\end{cases}
$$
其中,$U_{in}$为输入电压,$U_{out}$为输出电压,$\omega$为角频率,$j$为虚数单位,$||$表示并联电阻的等效电阻。
将上述方程组联立,可以得到输出电阻$R_2$的表达式:
$$
R_2 = \frac{R_1}{\omega^2 L^2 R_1 C + 1}
$$
当输出电阻$R_2$等于源电阻$R_1$的共轭复数时,电路输出功率达到最大值。因此,我们需要求解$R_2$的共轭复数,即:
$$
R_2^* = \frac{1}{\omega^2 L^2 R_1 C + 1} - j\frac{\omega L}{\omega^2 L^2 R_1 C + 1}
$$
因此,输出电阻$R_2$的最大传输功率为:
$$
P_{max} = \frac{|U_{in}|^2}{4R_1}
$$
其中,$|U_{in}|$为输入电压的幅值。
举例说明,假设电路中的参数为:$R_1 = 10\Omega$,$L = 1mH$,$C = 1\mu F$,$\omega = 1000\pi rad/s$,则根据上述公式,可以计算出:
$$
R_2 = \frac{10}{1000\pi^2\times 10^{-6}\times 10 + 1} \approx 9.95\Omega
$$
$$
R_2^* = \frac{1}{1000\pi^2\times 10^{-6}\times 10 + 1} - j\frac{1000\pi\times 10^{-3}}{1000\pi^2\times 10^{-6}\times 10 + 1} \approx 0.05 - j0.0314\Omega
$$
因此,输出电阻$R_2$的最大传输功率为:
$$
P_{max} = \frac{|U_{in}|^2}{4R_1} = \frac{1^2}{4\times 10} = 0.025W
$$
需要注意的是,上述计算结果仅适用于理想电路,实际电路中会存在各种损耗和非线性因素,因此实际输出功率可能会低于理论值。
创作工场
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