22.设A,B,I为n阶矩阵，证明:

1) $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$，前提是AB可逆。 证明：$(AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=AI=A$，同理$(B^{-1}A^{-1})(AB)=B^{-1}(AA^{-1})B=BI=B$，所以$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$。 2) 若A可逆，则$I+A^{-1}B$可逆，且$(I+A^{-1}B)^{-1}=I-A^{-1}(A+B)^{-1}B$。 证明：$(I+A^{-1}B)(I-A^{-1}(A+B)^{-1}B)=I+A^{-1}B-A^{-1}(A+B)^{-1}B-A^{-1}B(A+B)^{-1}B \\ =I+A^{-1}(B-(A+B)^{-1}(A+B))=I+A^{-1}(B-B)=I$，同理$(I-A^{-1}(A+B)^{-1}B)(I+A^{-1}B)=I$，所以$(I+A^{-1}B)^{-1}=I-A^{-1}(A+B)^{-1}B$。 3) 若A可逆，则$(A+B)^{-1}=A^{-1}(I+BA^{-1})^{-1}$，前提是I+BA^{-1}可逆。 证明：$(I+BA^{-1})A=A+BA^{-1}A=A+B$，所以$(I+BA^{-1})^{-1}(A+B)=A$，即$(A+B)^{-1}=A^{-1}(I+BA^{-1})^{-1}$。 4) 若A可逆，则$(A+BC)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}B(CA^{-1}+B)^{-1}CA^{-1}$，前提是CA^{-1}+B可逆。 证明：$(A+BC)(A^{-1}-A^{-1}B(CA^{-1}+B)^{-1}CA^{-1})=I+BCA^{-1}-A^{-1}B(CA^{-1}+B)^{-1}B+BCA^{-1}-BCA^{-1}B(CA^{-1}+B)^{-1}CA^{-1} \\ =I+BCA^{-1}-A^{-1}B(CA^{-1}+B)^{-1}(B+CA^{-1}B)-BCA^{-1}B(CA^{-1}+B)^{-1}CA^{-1} \\ =I+BCA^{-1}-A^{-1}B(CA^{-1}+B)^{-1}(A+BC)CA^{-1} \\ =(CA^{-1}+B)^{-1}(CA^{-1}+B)A^{-1}=(CA^{-1}+B)^{-1}(CA^{-1}+B)(A+BC)^{-1}=I$，同理$(A^{-1}-A^{-1}B(CA^{-1}+B)^{-1}CA^{-1})(A+BC)=I$，所以$(A+BC)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}B(CA^{-1}+B)^{-1}CA^{-1}$。