4、试证：向量组的任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价

证明：假设向量组V={v1,v2,...,vn}是n维空间中的一个有限集合，其中vi∈Rn。根据定义，任意一个极大线性无关组U={u1,u2,...,un}都是由V中的一些向量所构成的。 由于U是V中的一个子集，因此存在另外一个集合S={s1,s2,...,sn},其中si∈Rn，使得U=V+S。 另外，由于U是极大无关组，所以对于任意i≠j(i,j=1...n)有ui不能表示为Vi的任何有限数倍数之和。即ui≠∑kiVi(k=0...m) (m<∞) 对于所有i (i=1...n) 。这就意味着存在Si使得ui-vi=si. 把上式写成通式如下: U = V + S 其中 Si = ui - vi (i = 1... n). 根据上述分析可以得出: 由U可以唯一地决定S , 由S可以唯一地决定V , 由V也能唯一地决定U . 所以 U 和 V 是相当的. ∎