∫-2x/x²+1dx

标题：∫-2x/x²+1dx 在微积分中，求解不定积分是一个常见且重要的任务。今天，我们将详细解析一个具体的积分问题：∫-2x/(x²+1) dx。 首先，我们观察被积函数 -2x/(x²+1)。为了简化这个积分，我们可以使用变量替换法。设 u = x² + 1，那么 du/dx = 2x，即 du = 2x dx。因此，原积分可以重写为： ∫-2x/(x²+1) dx = ∫-1/u du 接下来，我们对新的被积函数进行积分。我们知道，对于任何非零常数 a，有 ∫a/u du = a ln|u| + C。因此，对于我们的情况，a = -1，所以： ∫-1/u du = -ln|u| + C 现在，我们需要将变量 u 替换回原来的变量 x。由于 u = x² + 1，我们有： -ln|u| + C = -ln|x² + 1| + C 至此，我们已经求出了原积分的结果。总结一下，∫-2x/(x²+1) dx 的结果是： -ln|x² + 1| + C 其中，C 是积分常数。 通过这个例子，我们可以看到变量替换法在求解复杂积分时的强大作用。这种方法不仅可以简化被积函数，还可以使积分过程更加直观和易于理解。当然，熟练掌握这种方法需要大量的练习和对微积分理论的深入理解。希望这篇文章能帮助你更好地理解和掌握积分技巧，提升你的数学能力。