25的N次方等于2080的m次方等于2000求1/m+1/n等于多少？

要解决这个问题，我们需要先理解题目中的数学关系。题目给出的条件是： \\[ 25^n = 2080^m = 2000 \\] 我们的目标是求出 \\(\\frac{1}{m} + \\frac{1}{n}\\) 的值。 首先，我们可以将等式 \\(25^n = 2000\\) 和 \\(2080^m = 2000\\) 分别取对数来求解 \\(n\\) 和 \\(m\\)。 ### 求解 \\(n\\) 从等式 \\(25^n = 2000\\)，我们取自然对数（或常用对数）： \\[ \\ln(25^n) = \\ln(2000) \\] 根据对数的性质，幂可以移到对数的前面： \\[ n \\cdot \\ln(25) = \\ln(2000) \\] 因此， \\[ n = \\frac{\\ln(2000)}{\\ln(25)} \\] ### 求解 \\(m\\) 同样地，从等式 \\(2080^m = 2000\\)，我们取自然对数： \\[ \\ln(2080^m) = \\ln(2000) \\] 根据对数的性质，幂可以移到对数的前面： \\[ m \\cdot \\ln(2080) = \\ln(2000) \\] 因此， \\[ m = \\frac{\\ln(2000)}{\\ln(2080)} \\] ### 计算 \\(\\frac{1}{m} + \\frac{1}{n}\\) 现在我们已经得到了 \\(n\\) 和 \\(m\\) 的表达式，接下来我们计算 \\(\\frac{1}{m} + \\frac{1}{n}\\)： \\[ \\frac{1}{m} = \\frac{\\ln(2080)}{\\ln(2000)} \\] \\[ \\frac{1}{n} = \\frac{\\ln(25)}{\\ln(2000)} \\] 所以， \\[ \\frac{1}{m} + \\frac{1}{n} = \\frac{\\ln(2080)}{\\ln(2000)} + \\frac{\\ln(25)}{\\ln(2000)} \\] 由于分母相同，我们可以合并分子： \\[ \\frac{1}{m} + \\frac{1}{n} = \\frac{\\ln(2080) + \\ln(25)}{\\ln(2000)} \\] 根据对数的性质，\\(\\ln(a) + \\ln(b) = \\ln(ab)\\)，所以： \\[ \\frac{1}{m} + \\frac{1}{n} = \\frac{\\ln(2080 \ imes 25)}{\\ln(2000)} \\] 计算 \\(2080 \ imes 25\\)： \\[ 2080 \ imes 25 = 52000 \\] 因此， \\[ \\frac{1}{m} + \\frac{1}{n} = \\frac{\\ln(52000)}{\\ln(2000)} \\] 这个结果表示的是两个对数的比值，它告诉我们在给定的条件下，这两个指数关系的倒数之和是多少。通过这个过程，我们不仅解决了问题，还展示了如何通过对数运算来处理复杂的指数方程。