1分、2分、5分硬币，兑换25分钱，有多少种方法

我们可以用$x$、$y$、$z$分别表示1分、2分、5分硬币的数量，那么我们需要解决的问题就是求解以下方程： $x+2y+5z=25\\x\ge 0\\y\ge 0\\z\ge 0$ 我们可以通过枚举的方法来解决这个问题。首先，我们可以确定$z$的取值范围，因为5分硬币是最大的面值，所以$z$的取值范围是0到5。接下来，我们可以分别计算每种情况下$x$和$y$的取值范围。 1. 当$z=0$时，我们需要找到满足方程的非负整数解$(x, y)$。此时，我们可以将方程改写为： $x+2y=25$ $y=\frac{25-x}{2}$ 由于$x$和$y$都是非负整数，所以我们可以遍历$x$的所有可能取值(从0到25),然后计算对应的$y$值。当$x=0$时，$y=12.5$,不是整数；当$x=2$时，$y=12$,是整数；当$x=4$时，$y=11.5$,不是整数；当$x=6$时，$y=11$,是整数；以此类推，直到$x=25$,此时$y=0$,但题目要求至少需要一枚5分硬币，所以这种情况不符合条件。因此，当$z=0$时，有3种满足条件的解：(2, 12), (6, 11), (10, 10)。 2. 当$z=1$时，我们需要找到满足方程的非负整数解$(x, y)$。此时，我们可以将方程改写为： $x+2y=20$ $y=\frac{20-x}{2}$ 由于$x$和$y$都是非负整数，所以我们可以遍历$x$的所有可能取值(从0到20),然后计算对应的$y$值。当$x=0$时，$y=10$,是整数；当$x=2$时，$y=9.5$,不是整数；当$x=4$时，$y=9$,是整数；当$x=6$时，$y=8.5$,不是整数；当$x=8$时，$y=8$,是整数；当$x=10$, $y=7.5$, 不是整数；当 $x = 12$, $y = 7$, 是整数；当 $x = 14$, $y = 6.5$, 不是整数；当 $x = 16$, $y = 6$, 是整数；当 $x = 18$, $y = 5.5$, 不是整数；当 $x = 20$, $y = 5$, 是整数。因此，当 $z = 1$, 有8种满足条件的解：(0, 10), (2, 9), (4, 8), (6, 7), (8, 6), (10, 5), (12, 4), (14, 3)。