计算∫sin⁵xdx的不定积分

《计算∫sin⁵xdx的不定积分》 在数学的积分领域中，计算∫sin⁵xdx这一不定积分有着独特的方法和意义。 要计算这个不定积分，我们可以运用一些巧妙的三角函数恒等变换技巧。首先，我们可以将sin⁵x拆解为sin⁴x·sinx ，而sin⁴x又可以通过平方公式转化为（sin²x）² 。根据三角函数的基本关系sin²x = 1 - cos²x，进一步将其代入可得（1 - cos²x）² 。 接下来进行展开和化简，（1 - cos²x）² = 1 - 2cos²x + cos⁴x ，那么原式就变为（1 - 2cos²x + cos⁴x ）·sinx 。此时，我们令u = cosx ，则du = -sinxdx ，即sinxdx = -du。通过这样的换元，原积分式就转化为关于u的积分。 经过一系列的积分运算和回代，最终我们可以得到∫sin⁵xdx = -1/4cos⁴x + C，其中C为任意常数。这个结果不仅展示了积分运算的技巧性，也为解决其他类似的三角函数积分问题提供了思路和方法，体现了数学中不同知识点之间的紧密联系和相互转化的奇妙之处。